운은 다음 시즌까지 갈까: 평균 회귀, 그리고 운과 실력을 가르는 법
지난 글 끝에 이런 질문을 남겼어요.
2021년 +14.8승으로 운 좋았던 매리너스는 2022년에 어떻게 됐을까? 2023년 불운했던 파드리스는 2024년에 회복했을까?
이번 글의 한 줄 요약은 이거예요.
올해의 잔차는 내년이면 약 87%가 사라져요. 잔차는 대부분 운이고, 운은 다음 시즌 평균으로 돌아와요. 이걸 평균 회귀라고 해요.
잔차 다시 보기
Q2에서 잔차(residual)를 이렇게 정의했어요.
득점·실점으로 계산한 "이 팀은 이 정도 이겨야 한다"는 기댓값보다, 실제로 얼마나 더(혹은 덜) 이겼는지예요. 양수면 기대 이상으로 이긴 팀, 음수면 덜 이긴 팀이에요.
그때 잔차를 "운"이라고 불렀는데, 곧 이런 단서를 달았어요.
잔차가 전부 운은 아니다. 운 + 피타고라스 공식이 못 잡는 실력(강한 불펜, 접전을 잘 잡는 능력 같은)의 혼합이다. 그걸 어떻게 가르지?
이번 글은 그 질문에 답해요.
운과 실력을 나누는 방법
이 글에서 쓰는 가정은 하나예요.
운은 다음 시즌에 반복되지 않고, 실력은 반복돼요.
동전을 던져 앞면이 연속 10번 나왔다고 11번째가 더 잘 나오지 않아요(운). 반대로 타율 0.330인 타자는 내년에도 잘 칠 가능성이 높아요(실력).
그러니 잔차가 운인지 실력인지 알고 싶으면, 다음 시즌으로 넘어가서 그게 남아 있는지 보면 돼요.
- 올해 운 좋았던 팀이 내년에도 똑같이 잘하면 → 그건 실력이었어요
- 올해 운 좋았던 팀이 내년엔 평범(잔차 0)해지면 → 그건 운이었어요
시즌 페어 만들기
이걸 데이터로 보려면 같은 팀의 연속 두 시즌을 짝지어야 해요. 한 점이 한 팀의 (올해 잔차, 내년 잔차)예요. 이걸 시즌 페어(season pair)라고 부를게요.
5시즌(2021~2025)이면 연속 페어가 4개 나와요: 2021→22, 22→23, 23→24, 24→25. 팀마다 4개 점, 30팀이니 총 120개 점이에요.
사소하지만 중요한 디테일: 팀은 팀 ID로 짝지어야 해요. 클리블랜드가 2021년 Indians에서 2022년 Guardians로 이름을 바꿨는데, 이름으로 매칭하면 이 팀의 21→22 페어가 오류 없이 빠져 버려요. 데이터를 다룰 때는 같은 대상을 무엇으로 식별할지 먼저 정해야 해요.
그림: 올해 잔차 vs 내년 잔차
X축에 올해 잔차, Y축에 내년 잔차를 두고 120개 팀-시즌을 모두 찍으면 이런 그림이 나와요.
그림에 선이 두 개 있어요.
- y = x (점선): 만약 잔차가 100% 실력이라 다음 해에 그대로 유지된다면, 모든 점이 이 대각선 위에 놓여요.
- 회귀선 (실선): 데이터에 실제로 맞춘 직선이에요.
두 선이 크게 벌어져 있어요. 회귀선은 거의 수평이에요. 점들이 y=x를 따라가지 않고, Y축 0 근처에 몰려 있다는 뜻이에요. 올해 잔차가 컸어도, 내년이면 0 쪽으로 돌아와요.
회귀선의 기울기
회귀선의 기울기 b가 이번 글에서 찾던 숫자예요. "올해 잔차 1만큼이 내년에 b만큼 남는다"는 뜻이에요.
이 데이터에서 b ≈ 0.13이에요. 올해 잔차의 13%만 내년에 남고, 나머지 87%는 사라져요. 상관계수 r도 0.13 정도로 거의 무관해요. 올해 운이 좋았는지와 내년 운이 좋을지는 사실상 별개라는 뜻이에요.
이게 평균 회귀(regression to the mean)예요. 이름은 19세기 통계학자 골턴에게서 왔어요. 골턴은 키 큰 부모의 자식이 부모만큼 크지는 않다는 걸 보고 "평균으로의 회귀"라고 불렀는데, 이게 기울기가 1보다 작다는 관찰이에요. 이 글의 b = 0.13은 1보다 한참 작고, 그 차이가 회귀의 양이에요.
매리너스와 파드리스는 어떻게 됐나
지난 글이 남긴 두 팀을 직접 따라가 볼게요.
| 팀 | 시즌 | 잔차 (그해) | → | 잔차 (다음 해) |
|---|---|---|---|---|
| 매리너스 | 2021 | +0.091 (+14.8승) | → | +0.005 |
| 파드리스 | 2023 | −0.068 | → | +0.011 |
매리너스의 +14.8승은 거의 다 사라졌어요. 잔차가 0.091에서 0.005로, 사실상 0이 됐어요. 파드리스의 불운도 다음 해엔 0을 넘어 살짝 플러스로 돌아왔어요. 둘 다 전형적인 평균 회귀예요.
그럼 13%는 뭘까
여기서 한 가지는 짚고 갈게요. b가 정확히 0은 아니에요. 13%는 남아요.
Q2에서 단 단서가 이 부분이에요. 잔차는 운과 실력이 섞인 값이라고 했어요. 그 작은 실력 성분(꾸준히 접전을 잡아내는 불펜, 감독의 운영 같은)이 13%로 다음 해까지 남아요. 평균 회귀는 "대부분 사라진다"는 뜻이에요. 팀 하나하나의 잔차를 운과 실력으로 나눌 수는 없지만, 전체 비율(87% 대 13%)은 데이터로 알 수 있어요.
정리하면
- 같은 팀의 올해 잔차와 내년 잔차를 짝지어 120개 시즌 페어를 만들었어요.
- 회귀선 기울기는 b ≈ 0.13이에요. 올해 잔차의 87%가 다음 시즌 사라져요.
- 매리너스 2021(+0.091)도 파드리스 2023(−0.068)도 다음 해엔 0 쪽으로 돌아왔어요.
- 잔차는 대부분 운이고, 운은 평균으로 회귀해요. 남는 13%가 실력의 몫이에요.
그래서 올해 기대 이상으로 이긴 팀을 곧장 내년 강팀으로 보기는 어려워요. 그 초과분의 대부분은 다시 반복되지 않는 운이에요.
다음 글
지금까지 시즌과 시즌 사이의 운을 봤고, 시즌 간 운은 평균으로 돌아온다는 걸 확인했어요.
그런데 한 가지 의문이 남아요.
시즌 안에서는 어떨까? "8월에 미친 듯이 이기던 팀"의 그 상승세는 진짜일까, 아니면 그것도 운일까?
다음 글에서는 한 시즌을 경기 단위로 쪼개서, 연승·연패와 상승세(streak)가 통계적으로 의미가 있는지 볼게요. 동전 던지기에서도 앞면이 7번 연속 나오는데, 야구의 8월 폭주는 그것과 무엇이 다를까요.
이 분석은 직접 만든 just-mlb 의 Q4 페이지에서 직접 만져볼 수 있어요. 산점도의 y=x선과 회귀선이 얼마나 벌어지는지 보고, 시즌 페어 칩으로 페어를 하나씩 빼 봐도 좋아요. 표본이 적을수록 기울기가 크게 흔들리는 게 보여요.
